Û Pengertian suku banyak

Û    Pengertian suku banyak

Definisi

Suku banyak (polinomial) dalam x berderajat n adalah suatu bentuk

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + … + a₂x² + a₁x + a₀

Untuk n suatu bilangan cacah, dan a₀, a₁, …, a_n konstanta dan a_n 0

Dalam suatu suku banyak a₁, …, a_n disebut koefisien suku x, bilangan n disebut derajat suku banyak tersebut. Bentuk penulisan suku banyak disusun dengan dasar pangkat yang tertinggi diletakkan pada urutan paling depan, sedangkan pangkat yang lebih kecil berada di sebelah kanannya.

Contoh.

1.        Polinom 2x³ + x + 9 dapat dinyatakan sebagai 2x³ + 0 . x² + x¹ + 9x⁰, dimana koefisien x² adalah 0 dan konstanta adalah 9.

2.        3x⁴ + 2x³ + 5x + 2 +  dapat dinyatakan sebagai 3x⁴ + 2x³ + 0 . x² + 5x¹ + 2x⁰ + 3x^-1.

Tapi contoh 2 ini bukan polinom, karena ada variabel x yang berpangkat bukan bilangan cacah.

Dua suku banyak dikatakan sama jika keduanya mempunyai derajat sama dan koefisien-koefisien suku sejenis juga sama.

Contoh :

x⁴ + Ax³ – 4x – 10x + 3 = x⁴ + (B + 2)x³ + (2B + 4)x² + (3B + 2)x + 3

Bandingkan koefisien x¹ : -10 = 3B + 2

                                             B = -4

Bandingkan koefisien x³ : A = B + 2

                                           A = -2

Jadi, nilai A = -2 dan B = -4

Û    Nilai Suku banyak

Jika, P (x) = 2x³ – x² – 2x + 1 dan

        Q (x) = {(2x – 1) x – 2} x + 1, maka tunjukkan bahwa P (x) = Q (x)

Bukti : Q (x) = {(2x – 1) x – 2} x + 1

            Q (x) = (2x – 1) x2 – 2x + 1

            Q (x) = 2x3 – x2 – 2x + 1 = P(x)

Maka terbukti, bahwa suku banyak p (x) dapat ditulis dalam bentuk Q (x).

Apabila kita menghitung nilai suku banyak tersebut untuk P (1), maka akan lebih praktis kita menggunakan metode substitusi.

P (2) = 2x³ – x² – 2x + 1

         = 2 (2)³ – (2)² – 2(2) + 2

         = 16 – 4 – 4 + 1 = 9

Q (2) = {(2x – 1) x – 2} x + 1

          = {(2 (2) – 1) 2 – 2} 2 + 1

          = {6 – 2} 2 + 1 = (4) (2) + 1 = 9

Untuk menghitung nilai suku banyak yang bentuknya sederhana, nilai x yang tidak terlalu besar dan nilai x bilangan bulat kita menggunakan metode substitusi.

Untuk menghitung nilai semua bentuk suku banyak yang berderajat lebih tinggi dan nilai x R maka menggunakan metode skema lebih praktis.

Contoh :

Hitunglah nilai P (2) jika P (x) = x³ + 7x² – 4x + 3

Jawab :

P (x) = x³ + 7x² – 4x + 3

2    1    7    -4    3

            2     18  28

      1    9     14  31   

Prosesnya adalah sebagai berikut :

1.        Kalikan 1 dengan 2, kemudian tambahkan 7 maka diperoleh 9

2.        Kalikan 9 dengan 2, kemudian tambahkan -4 maka diperoleh 14

3.        Kalikan 14 dengan 2, kemudian tambahkan 3 maka diperoleh 31

Sisa pembagiannya adalah 31

Hasilnya adalah x² + 9x+ 14

Soal

1.      a.   Tulislah urutan  

            pangkat turun dari  variabel :

            6x² + 2x + 7x³ – 2

            dan tentukan koefisien x² nya ?

      b.   Tentukan nilai A dan B jika diketahui :

            6x² – 29x + 9 = (Ax – 1) (2x – B)

2.      Hitunglah nilai fungsi ini menggunakan skema.

      2x⁴ – 20x² – 6 – 3x³ untuk     x = 4

Jawab :

a.   Urutan pangkat turun variabel adalah

7x³ + 6x² + 2x¹ + 2x⁰

Koefisien x² = 6

b.   Diketahui : 6x² – 29x + 9 = (Ax – 1) (2x – B)

Ditanya : Nilai A dan B … ?

Jawab : 6x² – 29x + 9 = 2Ax² – ABx – 2x + B

             6x² – 29x + 9 = 2Ax² + (-AB – 2)x + B

Untuk koefisien x² Þ 6 = 2A

                                   A = 6/2 = 3

Untuk koefisien x⁰ Þ 9 = B

      Jadi A = 3 dan B = 9

2x⁴ – 20x² – 6 – 3x³ untuk x = 4

Urutan pangkat : 2x⁴ – 3x³ – 20x² – 0x¹ – 6x⁰

 4    2    -3    -20    0    -6

              8      20    0     0

	+

       2     5       0     0     -6

Sisa pembagian = -6

Hasil bagi         = 2x³ + 5x²

Jadi nilai untuk x = 4 adalah -6